数字逻辑期末复习（1）

一、数字系统概述

1.数字信号的概念

  • 模拟信号：时间与幅度“连续的信号”，自然界中可测试的物理量一般都是模拟信号
  • 数字信号：时间与幅度“离散”的信号，将模拟信号经过采样、量化、和编码后得到的
  • 编码后的数字信号：时间和幅度都是离散的

  • 数字电路优点：只要信号不超过容限就不会失真

    ​ 噪声影响不容易累积

    ​ 稳定性好、可靠性高，便于传输、计算和存储

  • 模拟电路：噪声逐级累积

  • 十进制转为二进制，二进制转为十进制，小数转换二进制

  • 文本转换为二进制：ASCII码

    计算机接收到字符 “A”。

    去 ASCII 表里查，发现 “A” 对应的编号是 65。

    将 65 转换为二进制 01000001 进行存储或传输。

  • 图像像素转换成二进制：

    • 颜色模型：RGB

    • 两种典型的颜色模型：

      RGB：红绿蓝颜色模型

      HSL：色调饱和度亮度颜色模型

2.数字系统的概念

  • 数字系统的典型结构：

    数字系统在结构上可分为：处理器+外围接口

    处理器具体可分为：数据处理单元+控制单元

3.设计数字系统的方法

  • ASSP ASIC PLD

4.基于HDL和EDA工具的设计流程

  • 数字系统设计EDA工具
  • 逻辑设计：硬件描述语言（HDL）
  • 仿真优化
  • 自顶向下设计思想
  • 注意：
    • 逻辑函数、真值表、卡诺图化简

二、逻辑电路导论

1.基本门电路、表达式、真值表

  • 开关电路

  • 真值表、逻辑表达式

  • 与门、或门、非门

  • 与非门、或非门：

  • 串联：逻辑与（AND） 并联：逻辑或（OR）

  • 逻辑网络分析：给出一个电路图，推算出它的数学逻辑表达式，并画出随时间变化的波形图

  • **异或门：**两个值不相同为真，相同为假，符号为^

  • 加法器：半加器（只能进位，但是无法计算进位）

    • 真值表可以看出来：S0表示a，b相同为0；不同为1，正好是异或门
    • S1表示：a，b都是1，S1才是1，这相当于与门，正如图所示

2.布尔代数

  • 一种代数系统，基于真1假0两个逻辑值，描述分析逻辑关系的代数系统

  • 布尔运算：**与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）**等

  • 真值表：很重要

  • 布尔表达式：用布尔变量和运算符表示逻辑关系，可以描述布尔函数的行为

  • 布尔函数：一种将布尔变量映射到布尔值的数学函数

  • 布尔代数定律：分配律、德摩根律等，简化优化布尔表达式

  • 布尔代数的对偶性：

    • 怎么变成对偶式：把所有的与变为或，所有或变成与，所有0变成1，所有0变成1，变量保持不变（注意变量是保持不变的）
    • 对偶性原理：任意正确的布尔表达式，其对偶式也是正确的
    • 例：0·0=0，1+1=1也正确

  • 布尔代数的多变量定理：

  • 德摩根律三个变量也适用

3.韦恩图

4.逻辑函数化简

5.利用基本门电路进行综合

  • 根据真值表写出布尔表达式最小项法（核心思路：找1）
    • 我们的目标是写出一个公式，使得只有当 x1=0 且 x2=1 时，计算结果才为 1。
    • 对于 x1：因为输入是 0，为了让它变成 1（逻辑真），我们需要对它取反。所以要写成 ~x1。
    • 对于 x2：因为输入本来就是 1，保持原样即可。所以写成 x2。
    • 组合：把它们乘起来（逻辑与），就得到了 ~x1·x2 最小项法

6.最小项、最大项

  • 所有变量构成的乘积项，变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次
  • 输入变量的任何一种取值，必有且仅有一个最小项取值为1
  • 最小项、积之和

  • 这里面的数字是上面二进制数转为十进制数得来的：001=1，100=4······

  • 最大项：

    • 对应0为假”。
      • 只有当输入符合特定组合时，它才输出 0，其他情况全是 1。
    • 输入是 0 就写字母 (A)，输入是 1 就加非号 (A¯)。
      • 例如输入 0,0,0 → 最大项是 A+B+C。

7.最简化与卡诺图

  • 卡诺图：将n变量逻辑函数的全部最小项按照格雷码排列的方格图
  • 格雷码：格雷码排列：坐标上的二进制数值不是按照普通顺序(00,01,10,11)排列，而是相邻的两个方格之间，只能有一个变量能够发生变化，eg：00->01->11->10，而且卡诺图不仅是平面连接的，最左面和最右边相邻，最上面和最下面也相邻
  • 使用格雷码的目的：物理上相邻的方格便是逻辑上的相邻，意味着可以进行合并
  • 卡诺图结构：
    • 2变量（AB）：4个方格
    • 3变量（ABC）：8个方格
    • 4变量（ABCD）：16个方格
  • 卡诺图与真值表对应
  • 从上图可以看到卡诺图与真值表一一对应

应用卡诺图化简逻辑函数

  • 1.画出逻辑函数的卡诺图

  • 2.合并相邻最小项，画出包围取值为1的圈，保留一个圈内最小项的相同变量，消去相反变量

  • 3.写出最简表达式

  • 要点：

    • 8421化简方式确定包围圈位置
    • 相邻位置画圈，边框也算相邻可以理解为是一个球面
    • 逻辑函数基本定律互补、自等

  • 卡诺图画圈规则：

    • 规则1（2的幂次）：圈内的方格数必须是 2n 个（1, 2, 4, 8, 16…）。不能圈 3 个或 6 个。

    • 规则2（最大化）：圈要尽可能大。圈越大，消除的变量越多。

    • 规则3（覆盖）：所有为“1”的方格都必须至少被圈一次。

    • 规则4（重叠）：允许圈重叠使用同一个方格，只要能让圈变得更大。

    • 规则5（折叠）：利用边缘相邻特性，可以跨越边界画圈（比如把最左和最右的一列圈在一起）。

  • 例子：

  • 雨课堂ppt习题

    特殊题目：和之积（POS）

    • 做法：圈出所有的0，得到的每一圈是求和项，最后把他们相乘

无关项：

  • 数字系统中，有些输入情况永远不会发生，这种情况被称作无关项

  • 例子：用七位数码管显示十进制数

  • d是无关项，在画圈的过程中，它既可以当1，也可以当0
  • 所以在上图画圈过程中，为了使结果更加简洁，把d作为1，去进行化简
  • 多输出电路：通常我们设计电路时，可能分别去化简 f1 和 f2。但如果这两个函数是同一个系统里的（输入变量相同），我们就可以观察它们之间有没有**“公共部分”**。如果有，这部分电路只需要做一个，然后把输出信号分给 f1 和 f2 同时使用。